OdagiriJの展開⇄因数分解マスター

式の展開と因数分解は、やることがちょうど逆向きなだけで、使う公式は同じものです。ここでは中学3年生がつまずきやすいところを、例題つきで順に説明します。上のアプリで実際に手を動かしながら読むと身につきます。

1. 分配法則で展開する：a(b+c)

例題　3x(2x − 5) を展開しなさい。

1. かっこの外の 3x を、かっこの中のすべての項に1つずつかけます。
2. 3x × 2x = 6x²
3. 3x × (−5) = −15x

答え　6x² − 15x

つまずきやすい点：うしろの項の符号を落として +15x としてしまう間違いが最も多いところです。かっこの中の「−」は、その項にくっついているものと考えてください。

2. (a+b)(c+d) の展開

例題　(x + 3)(x − 4) を展開しなさい。

1. 前のかっこの各項を、うしろのかっこの各項すべてにかけます（かけ算は全部で4回）。
2. x × x = x²、x × (−4) = −4x、3 × x = 3x、3 × (−4) = −12
3. ならべると x² − 4x + 3x − 12
4. 同類項 −4x と 3x をまとめます。

答え　x² − x − 12

3. 乗法公式1：(x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab

例題　(x + 2)(x + 5) を展開しなさい。

1. 2 と 5 をたすと 7 → これがまん中の x の係数になります。
2. 2 と 5 をかけると 10 → これがうしろの数になります。

答え　x² + 7x + 10

「たしてまん中、かけてうしろ」と覚えると、次の因数分解でもそのまま使えます。

4. 乗法公式2・3：(x+a)² = x² + 2ax + a²

例題　(x + 4)² を展開しなさい。

1. まん中の項は 2 × 4 × x = 8x
2. うしろは 4² = 16

答え　x² + 8x + 16

つまずきやすい点：(x + 4)² を x² + 16 としてしまう間違いがとても多いところです。(x + 4)² は (x + 4)(x + 4) のことなので、まん中の 8x が必ず出てきます。

ひく形も同じで、(x − 3)² = x² − 6x + 9 のように、まん中だけが「−」になります。

5. 乗法公式4：(x+a)(x−a) = x² − a²

例題　(x + 6)(x − 6) を展開しなさい。

まん中に出てくる +6x と −6x が打ち消し合って消えるので、2つの項だけが残ります。

答え　x² − 36

6. 因数分解の第一手：共通因数でくくる

例題　6x² − 15x を因数分解しなさい。

1. 数の部分 6 と 15 の最大公約数は 3。
2. 文字はどちらの項にも x があるので、共通因数は 3x。
3. 3x でくくって、残りをかっこの中に書きます。

答え　3x(2x − 5)

因数分解は必ずここから始めます。共通因数を見落としたまま公式をさがすと行き詰まります。1の例題とくらべると、展開とちょうど逆向きの作業になっていることが分かります。

7. 公式を逆に使う因数分解：x² + 7x + 10

例題　x² + 7x + 10 を因数分解しなさい。

1. たして 7、かけて 10 になる2つの数をさがします。
2. 見つかるのは 2 と 5。

答え　(x + 2)(x + 5)

負の数が出てくる場合も同じです。x² − x − 12 なら「たして −1、かけて −12」で 3 と −4 が見つかり、(x + 3)(x − 4) となります。

2数の符号は、次のように見当をつけられます。

1. かけて負 → 2数は異符号（＋と−が1つずつ）。
2. かけて正 → 2数は同符号で、その符号はたした答えの符号と同じ。

8. どの公式を使うか見分ける

因数分解でつまるのは、多くの場合「どれを使うか」で迷うときです。次の順に見ていけば決まります。

1. まず共通因数があるか確かめる（あれば必ず先にくくる）。
2. 項が2つなら、x² − a² の形（2乗どうしの引き算）かどうか。
3. 項が3つなら、うしろの数が2乗の数で、まん中がその2倍になっているか。なっていれば (x ± a)²。
4. どれでもなければ「たして・かけて」で2数をさがす。

上のアプリでは、分配＋公式のモードが、この順番をそのまま練習する形になっています。 まず共通因数をくくり出し、残ったかっこの中がどの公式かを見分ける、という2段階です。 まずは分配法則のモードから、実際に手を動かして確かめてみてください。

なお「公式利用」モードは、見分けの練習ではなく、 86 × 74 を (80 + 6)(80 − 6) と見て公式4で計算するような、 数の計算を公式でくふうする問題です。